Состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M j с массой m j . На эту точку, как известно, действуют внешние и внутренние силы .

Приложим к точке M j равнодействующую всех внутренних сил F j i и равнодействующую всех внешних сил F j e (рисунок 2.2). Для выделенной материальной точки M j (как для свободной точки) запишем теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме (2.3):

Запишем аналогичные уравнения для всех точек механической системы (j=1,2,3,…,n) .

Рисунок 2.2

Сложим почленно все n уравнений:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i , (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i . (2.10)

Здесь ∑m j ×V j =Q – количество движения механической системы;
∑F j e = R e – главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему;
∑F j i = R i =0 – главный вектор внутренних сил системы (по свойству внутренних сил он равен нулю).

Окончательно для механической системы получаем

dQ/dt = R e . (2.11)

Выражение (2.11) представляет собой теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему .

Проецируя векторное равенство (2.11) на декартовы оси координат, получаем выражения для теоремы об изменении количества движения механической системы в координатном (скалярном) выражении:

dQ x /dt = R x e ;

dQ y /dt = R y e ;

dQ z /dt = R z e , (2.12)

т.е. производная по времени от проекции количества движения механической системы на какую-либо ось равна проекции на эту ось главного вектора всех действующих на эту механическую систему внешних сил .

Умножая обе части равенства (2.12) на dt , получим теорему в другой дифференциальной форме:

dQ = R e ×dt = δS e , (2.13)

т.е. дифференциал количества движения механической системы равен элементарному импульсу главного вектора (сумме элементарных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему .

Интегрируя равенство (2.13) в пределах изменения времени от 0 до t , получаем теорему об изменении количества движения механической системы в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении):

Q — Q 0 = S e ,

т.е. изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора (сумме полных импульсов) всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени .

Проецируя векторное равенство (2.14) на декартовы оси координат, получим выражения для теоремы в проекциях (в скалярном выражении):

т.е. изменение проекции количества движения механической системы на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса главного вектора (сумме полных импульсов) всех действующих на механическую систему внешних сил за тот же промежуток времени .

Из рассмотренной теоремы (2.11) – (2.15) вытекают следствия:

1. Если R e = ∑F j e = 0 , то Q = const – имеем закон сохранения вектора количества движения механической системы: если главный вектор R e всех внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то вектор количества движения этой системы остается постоянным по величине и направлению и равным своему начальному значению Q 0 , т.е. Q = Q 0 .
2. Если R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0) , то Q x = const – имеем закон сохранения проекции на ось количества движения механической системы: если проекция главного вектора всех действующих на механическую систему сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция на эту же ось вектора количества движения этой системы будет величиной постоянной и равной проекции на эту ось начального вектора количества движения, т.е. Q x = Q 0x .

Дифференциальная форма теоремы об изменении количества движения материальной системы имеет важные и интересные приложения в механике сплошной среды. Из (2.11) можно получить теорему Эйлера.

Количеством движения материальной точки называется векторная величина mV, равная произведению массы точки на вектор ее скорости. Вектор mV приложен к движущейся точке.

Количеством движения системы называют векторную величину Q , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы:

Вектор Q является свободным вектором. В системе единиц СИ модуль количества движения измеряется в кг м/с или Н с.

Как правило, скорости всех точек системы различны (см., например, распределение скоростей точек катящегося колеса, показанное на рис. 6.21), и поэтому непосредственное суммирование векторов в правой части равенства (17.2) является затруднительным. Найдем формулу, с помощью которой величина Q вычисляется значительно легче. Из равенства (16.4) следует, что

Взяв от обеих частей производную по времени, получим Отсюда, учитывая равенство (17.2), находим, что

т. е. количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс.

Заметим, что вектор Q, подобно главному вектору сил в статике, является некоторой обобщенной векторной характеристикой движения всей механической системы. В общем случае движения системы ее количество движения Q можно рассматривать как характеристику поступательной части движения системы вместе с ее центром масс. Если при движении системы (тела) центр масс неподвижен, то количество движения системы будет равно нулю. Таково, например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Пример. Определить количество движения механической системы (рис. 17.1, а), состоящей из груза А массой т А - 2 кг, однородного блока В массой 1 кг и колеса D массой m D - 4 кг. Груз А движется со скоростью V A - 2 м/с, колесо D катится без скольжения, нить нерастяжима и невесома. Решение. Количество движения системы тел

Тело А движется поступательно и Q A =m A V A (численно Q A = 4 кг м/с, направление вектора Q A совпадает с направлением V A). Блок В совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс; следовательно, Q B - 0. Колесо D совершает плоскопараллельное

движение; его мгновенный центр скоростей находится в точке К , поэтому скорость его центра масс (точки Е) равна V E = V A /2= 1 м/с. Количество движения колеса Q D - m D V E - 4 кг м/с; вектор Q D направлен горизонтально влево.

Изобразив векторы Q A и Q D на рис. 17.1, б , находим количество движения Q системы по формуле (а). Учитывая направления и числовые значения величин, получим Q ~^Q A +Q E =4л/2~ кг м/с, направление вектора Q показано на рис. 17.1, б.

Учитывая, что a -dV/dt, уравнение (13.4) основного закона динамики можно представить в виде

Уравнение (17.4) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе. (По существу это другая формулировка основного закона динамики, близкая к той, которую дал Ньютон.) Если на точку действует несколько сил, то в правой части равенства (17.4) будет равнодействующая сил, приложенных к материальной точке.

Если обе части равенства умножить на dt, то получим

Векторная величина, стоящая в правой части этого равенства, характеризует действие, оказываемое на тело силой за элементарный промежуток времени dt эту величину обозначают dS и называют элементарным импульсом силы, т. е.

Импульс S силы F за конечный промежуток времени /, - / 0 определяется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.

В частном случае, если сила F постоянна по модулю и по направлению, то S = F(t | -/ 0) и S- F(t l - / 0). В общем случае модуль импульса силы может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:

Теперь, интегрируя обе части равенства (17.5) при т = const, получим

Уравнение (17.9) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечной (интегральной) форме: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу действующей на точку силы (или импульсу равнодействующей всех приложенных к ней сил) за тот же промежуток времени.

При решении задач пользуются уравнениями этой теоремы в проекциях на координатные оси

Теперь рассмотрим механическую систему, состоящую из п материальных точек. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения в форме (17.4), учитывая приложенные к точкам внешние и внутренние силы:

Суммируя эти равенства и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем

Так как по свойству внутренних сил HF k =0 и по определению количества движения ^fn k V/ c = Q , то окончательно находим

Уравнение (17.11) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: в каждый момент времени производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.11) на координатные оси, получим

Умножая обе части (17.11) на dt и интегрируя, получим

где 0, Q 0 - количества движения системы в моменты времени соответственно и / 0 .

Уравнение (17.13) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за какое-либо время равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за то же время.

В проекциях на координатные оси получим

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения количества движения системы.

• 1. Если геометрическая ^умма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.11) следует, что при этом Q = const, т. е. вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.
• 2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-либо ось равна нулю (например, I e kx = 0), то из уравнений (17.12) следует, что при этом Q x = const, т. е. проекция количества движения системы на эту ось остается неизменной.

Отметим, что внутренние силы системы не участвуют в уравнении теоремы об изменении количества движения системы. Эти силы, хотя и влияют на количество движения отдельных точек системы, не могут изменить количество движения системы в целом. Учитывая это обстоятельство, при решении задач рассматриваемую систему целесообразно выбирать так, чтобы неизвестные силы (все или их часть) сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению скорости одной части системы надо определить скорость другой ее части.

Задача 17.1. К тележке массой т х - 12 кг, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, в точке А с помощью цилиндрического шарнира прикреплен невесомый стержень AD длиной /= 0,6 м с грузом D массой т 2 - 6 кг на конце (рис. 17.2). В момент времени / 0 = 0, когда скорость тележки и {) - 0,5 м/с, стержень AD начинает вращаться вокруг оси А, перпендикулярной плоскости чертежа, по закону ф = (тг/6)(3^ 2 - 1) рад (/-в секундах). Определить: u=f.

§ 17.3. Теорема о движении центра масс

Теорему об изменении количества движения механической системы можно выразить еще в другой форме, носящей название теоремы о движении центра масс.

Подставив в уравнение (17.11) равенство Q =MV C , получим

Если масса М системы постоянна, то получим

где а с - ускорение центра масс системы.

Уравнение (17.15) и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проецируя равенство (17.15) на координатные оси, получим

где x c , y c , z c - координаты центра масс системы.

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Обсудим полученные результаты. Предварительно напомним, что центр масс системы является геометрической точкой, расположенной подчас вне геометрических границ тела. Действующие же на механическую систему силы (внешние и внутренние) приложены ко всем материальным точкам системы. Уравнения (17.15) дают возможность определить движение центра масс системы, не определяя движения отдельных ее точек. Сопоставив уравнения (17.15) теоремы о движении центра масс и уравнения (13.5) второго закона Ньютона для материальной точки, приходим к заключению: центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и как будто бы к этой точке приложены все внешние силы, действующие на систему. Таким образом, решения, которые получаем, рассматривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела.

В частности, если тело движется поступательно, то кинематические характеристики всех точек тела и его центра масс одинаковы. Поэтому поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Как видно из (17.15), внутренние силы, действующие на точки системы, не оказывают влияния на движение центра масс системы. Внутренние силы могут оказать влияние на движение центра масс в тех случаях, когда под их воздействием меняются внешние силы. Примеры этого будут приведены далее.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следующие важные следствия, которые выражают закон сохранения движения центра масс системы.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю (LF k =0), то из уравнения (17.15) следует,

что при этом а с = 0 или V c = const, т. е. центр масс этой системы

движется с постоянной по модулю и направлению скоростью (иначе, равномерно и прямолинейно). В частном случае, если вначале центр масс был в покое (V c =0), то он и останется в покое; откуда

следует, что его положение в пространстве не изменится, т. е. r c = const.

2. Если внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ось х) равна нулю (?F e kx = 0), то из уравнения (17.16) следует, что при этом х с =0 или V Cx =х с = const, т. е. проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частном случае, если в начальный момент Vex = 0, то и в любой последующий момент времени это значение сохранится, а отсюда следует, что координата х с центра масс системы не изменится, т. е. х с - const.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие закон движения центра масс.

Примеры. 1. Как было отмечено, движение центра масс зависит только от внешних сил, внутренними силами изменить положение центра масс нельзя. Но внутренние силы системы могут вызвать внешние воздействия. Так, движение человека по горизонтальной поверхности происходит под действием сил трения между подошвами его обуви и поверхностью дороги. Силой своих мышц (внутренние силы) человек ногами отталкивается от поверхности дороги, отчего в точках контакта с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения.

• 2. Аналогичным образом двигается автомобиль. Внутренние силы давления в его двигателе заставляют вращаться колеса, но так как последние имеют сцепление с дорогой, то возникающие силы трения «толкают» машину вперед (в результате колеса не вращаются, а двигаются плоскопараллельно). Если же дорога будет абсолютно гладкой, то центр масс автомобиля будет неподвижен (при нулевой начальной скорости) и колеса при отсутствии трения будут пробуксовывать, т. е. совершать вращательное движение.
• 3. Движение с помощью гребного винта, пропеллера, весел происходит за счет отбрасывания некоторой массы воздуха (или воды). Если рассматривать отбрасываемую массу и движущееся тело как одну систему, то силы взаимодействия между ними, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Однако каждая из частей этой системы будет двигаться, например, лодка вперед, а вода, которую отбрасывают весла, - назад.
• 4. В безвоздушном пространстве при движении ракеты «отбрасываемую массу» следует «брать с собой»: реактивный двигатель сообщает движение ракете за счет отброса назад продуктов горения топлива, которым заправлена ракета.
• 5. При спуске на парашюте можно управлять движением центра масс системы человек - парашют. Если мышечными усилиями человек подтягивает стропы парашюта так, что меняется форма его купола либо угол атаки воздушного потока, то это вызовет изменение и внешнего воздействия воздушного потока, а тем самым оказывается влияние на движение всей системы.

Задача 17.2. В задаче 17.1 (см. рис. 17.2) определить: 1) закон движения тележки х { = /)(/), если известно, что в начальный момент времени t 0 = О система находилась в покое и координата х 10 = 0; 2) ^акон изменения со временем суммарного значения нормальной реакции N(N = N" + N") горизонтальной плоскости, т. е. N=f 2 (t).

Решение. Здесь, как и в задаче 17.1, рассмотрим систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении под действием приложенных к ней внешних сил (см. рис. 17.2). Координатные оси Оху проведем так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у проходила через точку А 0 , т. е. место расположения точки А в момент времени t-t 0 - 0.

1. Определение закона движения тележки. Для определения х, = /,(0 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х:

Так как все внешние силы вертикальны, то T,F e kx = 0, и, следовательно,

Проинтегрировав это уравнение, найдем, что Мх с = В, т. е. проекция скорости центра масс системы на ось х есть величина постоянная. Так как в начальный момент времени

Интегрируя уравнение Мх с = 0, получим

т. е. координата х с центра масс системы постоянна.

Запишем выражение Мх с для произвольного положения системы (см. рис. 17.2), приняв во внимание, что х А - х { , x D - х 2 и х 2 - х { - I sin ф. В соответствии с формулой (16.5), определяющей координату центра масс системы, в данном случае Мх с - т { х { + т 2 х 2 ".

для произвольного момента времени

для момента времени / () = 0, х { = 0 и

В соответствии с равенством (б) координата х с центра масс всей системы остается неизменной, т. е. хД^,) = x c (t). Следовательно, приравняв выражения (в) и (г), получим зависимость координаты х, от времени.

О т в е т: Х - 0,2 м, где t - в секундах.

2. Определение реакции N. Для определения N=f 2 (t ) составим дифференциальное уравнение движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (см. рис. 17.2):

Отсюда, обозначив N= N + N", получим

По формуле, определяющей ординату у с центра масс системы, Му с = т { у х + т 2 у 2 , где у, = у С1 , у 2 = y D = У а ~ 1 cos Ф» получим

Продифференцировав это равенство два раза по времени (учитывая при этом, что у С1 и у А величины постоянные и, следовательно, их производные равны нулю), найдем

Подставив это выражение в уравнение (е), определим искомую зависимость N от t.

Ответ: N- 176,4 + 1,13,

где ф = (я/6)(3/ -1), t - в секундах, N- в ньютонах.

Задача 17.3. Электрический мотор массой т х прикреплен на горизонтальной поверхности фундамента болтами (рис. 17.3). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одним концом невесомый стержень длиной /, на другом конце стержня насажен точечный груз А массой т 2 . Вал вращается равномерно с угловой скоростью со. Найти горизонтальное давление мотора на болты. Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из мотора и точечного груза А, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р х, Р 2 , реакцию фундамента в виде вертикальной силы N и горизонтальной силы R. Проведем координатную ось х горизонтально.

Чтобы определить горизонтальное давление мотора на болты (а оно будет численно равно реакции R и направлено противоположно вектору R ), составим уравнение теоремы об изменении количества движения системы в проекции на горизонтальную ось х:

Для рассматриваемой системы в ее произвольном положении, учитывая, что количество движения корпуса мотора равно нулю, получим Q x = - т 2 У А сощ. Принимая во внимание, что V A = a з/, ф = со/ (вращение мотора равномерное), получим Q x - - m 2 co/cos со/. Дифференцируя Q x по времени и подставляя в равенство (а), найдем R- m 2 co 2 /sin со/.

Заметим, что именно такие силы являются вынуждающими (см. § 14.3), при их воздействии возникают вынужденные колебания конструкций.

Упражнения для самостоятельной работы

• 1. Что называют количеством движения точки и механической системы?
• 2. Как изменяется количество движения точки, равномерно движущейся по окружности?
• 3. Что характеризует импульс силы?
• 4. Влияют ли внутренние силы системы на ее количество движения? На движение ее центра масс?
• 5. Как влияют на движение центра масс системы приложенные к ней пары сил?
• 6. При каких условиях центр масс системы находится в покое? движется равномерно и прямолинейно?

7. В неподвижной лодке при отсутствии течения воды на корме сидит взрослый человек, а на носу лодки - ребенок. В каком направлении переместится лодка, если они поменяются местами?

В каком случае модуль перемещения лодки будет большим: 1) если ребенок перейдет к взрослому на корму; 2) если взрослый перейдет к ребенку на нос лодки? Каковы будут при этих движениях перемещения центра масс системы «лодка и два человека»?

По определению количеством движения системы называется вектор

Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

и в силу соотношения (5)

Это утверждение называется теоремой об изменении количества движения (импульса) системы:

Производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех действующих на систему внешних сил.

Проектируя равенство (7) на любую неподвижную ось , получаем

где - проекция на ось вектора , а - проекция на нее вектора .

Если система замкнута, то по определению на ее точки не действуют внешние силы, , т. е.

(9)

Тем самым устанавливается закон сохранения количества движения: При движении замкнутой системы количество движения (импульс) системы не меняется.

Это утверждение справедливо, разумеется, и для системы, на которую действуют внешние силы, если .

Из равенства (8) следует, что если , то , т. е. что у любой системы проекция количества движения на некоторую ось не изменяется во время движения, если главный вектор внешних сил системы перпендикулярен этой оси.

Теореме об изменении количества движения и закону сохранения количества движения можно придать иную форму, если ввести понятие о центре инерции системы.

Центром инерции системы называется геометрическая точка

С пространства, определяемая радиусом-вектором

Величина называется массой системы.

Во время движения точек системы меняются , а значит, меняется и , т. е. при движении точек системы движется и ее центр инерции. Траекторией центра инерции служит геометрическое место (годограф) концов векторов , а скорость точки С направлена по касательной к этому годографу и определяется равенством

которое получается дифференцированием равенства (10) по .

Из равенства (11) следует, что

т. е. что количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра инерции.

Из теоремы об изменении количества движения следует тогда

Но равенство (13) выражает второй закон Ньютона для материальной точки, помещенной в центре инерции и движущейся вместе с ним, если масса этой точки равна М и если к ней приложена сила . Отсюда следует, что теорему изменении количества движения можно сформулировать так:

При движении системы материальных точек ее центр инерции движется так, как двигалась бы материальная точка, помещенная в центре инерции, если бы в ней были сконцентрированы массы всех точек системы и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на точки системы.

В такой формулировке теорему об изменении количества движения называют теоремой о движении центра инерции.

У замкнутых систем и

(14)

Поэтому закон сохранения количества движения можно сформулировать так: центр инерции замкнутой системы движется с постоянной скоростью (быть может, равной нулю).

Разумеется, это утверждение верно и для проекций соответствующих векторов. Если проекция главного вектора внешних сил на некоторую ось тождественно равна нулю, то центр инерции движется так, что проекция скорости центра инерции на эту ось остается постоянной.

Далее иногда будет удобно вводить в рассмотрение вспомогательную систему отсчета, которая движется поступательно и начало которой помещено в центр инерции системы. Такую систему отсчета будем называть далее центральной. В том случае, когда скорость центра инерции постоянна, центральная система является инерциальной.

и механической системы

Количество движения материальной точки – это векторная мера механического движения, равная произведению массы точки на ее скорость, . Единица измерения количества движения в системе СИ –
. Количество движения механической системы равно сумме количеств движений всех материальных точек, образующих систему:

. (5.2)

Преобразуем полученную формулу

.

Согласно формуле (4.2)
, поэтому

.

Таким образом, количество движения механической системы равно произведению ее массы на скорость центра масс:

. (5.3)

Поскольку количество движения системы определяется движением только одной ее точки (центра масс), оно не может быть полной характеристикой движения системы. Действительно, при любом движении системы, когда ее центр масс остается неподвижным, количество движения системы равно нулю. Например, это имеет место при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс.

Введем систему отсчетаCxyz , имеющую начало в центре масс механической системыС и движущуюся поступательно относительно инерциальной системы
(рис. 5.1). Тогда движение каждой точки
можно рассматривать как сложное: переносное движение вместе с осямиCxyz и движение относительно этих осей. В силу поступательности движения осейCxyz переносная скорость каждой точки равна скорости центра масс системы, и количество движения системы, определяемое по формуле (5.3) , характеризует только ее поступательное переносное движение.

5.3. Импульс силы

Для характеристики действия силы за некоторый промежуток времени используют величину, называемую импульсом силы . Элементарный импульс силы – это векторная мера действия силы, равная произведению силы на элементарный промежуток времени ее действия:

. (5.4)

Единица измерения импульса силы в системе СИ равна
, т.е. размерности импульса силы и количества движения одинаковы.

Импульс силы за конечный промежуток времени
равен определенному интегралу от элементарного импульса:

. (5.5)

Импульс постоянной силы равен произведению силы на время ее действия:

. (5.6)

В общем случае импульс силы может быть определен по его проекциям на координатные оси:

. (5.7)

5.4. Теорема об изменении количества движения

материальной точки

В основном уравнении динамики (1.2) масса материальной точки – величина постоянная, ее ускорение
, что дает возможность записать это уравнение в виде:

. (5.8)

Полученное соотношение позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:Производная по времени от количества движения материальной точки равна геометрической сумме (главному вектору) действующих на точку сил .

Теперь получим интегральную форму этой теоремы. Из соотношения (5.8) следует, что

.

Проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих моментам времени и,

. (5.9)

Интегралы в правой части представляют собой импульсы сил, действующих на точку, поэтому после интегрирования левой части получим

. (5.10)

Таким образом, доказана теорема об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме:Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на точку сил за тот же промежуток времени .

Векторному уравнению (5.10) соответствует система трех уравнений в проекциях на координатные оси:

;

; (5.11)

.

Пример 1. Тело движется поступательно по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. В начальный момент времени оно имело скорость, направленную вверх по наклонной плоскости (рис. 5.2).

Через какое время скорость тела станет равной нулю, если коэффициент трения равен f ?

Примем поступательно движущееся тело за материальную точку и рассмотрим действующие на него силы. Это сила тяжести
, нормальная реакция плоскостии сила трения. Направим осьx вдоль наклонной плоскости вверх и запишем 1-е уравнение системы (5.11)

где проекции количеств движения , а проекции импульсов постоянных сил
,иравны произведениям проекций сил на время движения:

Так как ускорение тела направлено вдоль наклонной плоскости, сумма проекций на осьy всех действующих на тело сил равна нулю:
, откуда следует, что
. Найдем силу трения

и из уравнения (5.12) получим

откуда определим время движения тела

.

Количеством движения системы называют геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек системы

Для выяснения физического смысла (70) вычислим производную от (64)

. (71)

Решая совместно (70) и (71), получим

. (72)

Таким образом, вектор количества движения механической системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс .

Вычислим производную от (72)

. (73)

Решая совместно (73) и (67), получим

. (74)

Уравнение (74) выражает следующую теорему.

Теорема: Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы.

При решении задач уравнение (74) необходимо спроектировать на координатные оси:

. (75)

Из анализа (74) и (75) вытекает следующий закон сохранения количества движения системы : Если сумма всех сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
,Q = const . (76)

В частном случае этот закон может выполнять вдоль одной из координатных осей.

Если
, то,Q z = const . (77)

Теорему об изменении количества движения целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие и газообразные тела.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы

Количество движения характеризует только поступательную составляющую движения. Для характеристики вращательного движения тела введено понятие главного момента количеств движения системы относительно заданного центра (кинетического момента).

Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра

. (78)

Проектируя (22) на оси координат можно получить выражение кинетического момента относительно координатных осей

. (79)

Кинетический момент тела относительно осей равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела

. (80)

Из (80) следует, что кинетический момент характеризует только вращательную составляющую движения.

Характеристикой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента устанавливает взаимосвязь между характеристикой вращательного движения и силой, вызывающей это движение.

Теорема: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра

. (81)

При решении инженерных задач (81) необходимо спроектировать на координатные оси

Их анализа (81) и (82) вытекает закон сохранения кинетического момента : Если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра (или оси) сохраняет свою величину и направление.

,

или

Кинетический момент нельзя изменить действием внутренних сил системы, но за счет этих сил можно изменить момент инерции, а следовательно угловую скорость.