Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности
двух плоскостей:
пусть заданы две плоскости Q 1 и Q 2:
А 1 х +B 1 y + C 1 z + D 1 =0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0
Под углом между плоскостями понимается один из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то таковы же их нормали, т.е. . Но тогда ,т.е.
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Полученное равенство есть условие перпендикулярности двух плоскостей.
Если плоскости параллельны, то будут параллельны и их нормали. Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны: 
. Это и есть условие параллельности двух плоскостей.
Взаимное расположение прямых.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S 1 и S 2 .
Для нахождения острого угла между прямыми L 1 и L 2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.
Если прямые L 1 и L 2 перпендикулярны
, то в этом и только в этом случае имеем cos =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. 
=0.
Если прямые L 1 и L 2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S 1 и S 2 . следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: .
Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:
=0.
При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями 
. Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой.
.
Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому , т.е.
0 является условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства
Являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости :
Рассмотрим прямую и плоскость Ах +By + Cz + D=0.
Одновременное выполнение равенств:
Ах 0 +By 0 + Cz 0 + D=0 являются условием принадлежности прямой плоскости.
Эллипс.
Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.
Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F 1 (C,0) и F 2 (-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F 1 F 2 , то по F 1 М+F 2 M получаем:
каноническое ур-ие эллипса 
,
b 2 =-(с 2 -a 2).
а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.
Эксцентриситет . , (если а>b)
(если а Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса. У эллипса эксцентриситет находится: 0 . Случай =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом. Директрисы (D)
Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине , называется директрисами.
. Примечание: у окружности нет директрисы. Гипербола.
Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.
Каноническое уравнение гиперболы: Гипербола есть линия второго порядка. Гипербола имеет 2 асимптоты: и Гипербола называется равносторонней
, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение: Эксцентриситет
– отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы: Так как для гиперболы с>а, то эксцентриситет гиперболы >1. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен . Директрисы
– прямые . Фокальные радиусы
: Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
Парабола.
Парабола
– множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы
(p>0).-полуфокальный диаметр.
Парабола есть линия второго порядка. М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: Каноническое уравнение параболы: Эллипсоид.
Исследуем поверхность, заданную уравнением: Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями: Исследуем поверхность: А) если то Линия пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует. Б) если , линия пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности. В) если , то уравнения можно переписать в виде: Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу. Гиперболоид и конус.
В силу аксиомы: две плоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую - возможны лишь два случая расположения плоскостей: 1) плоскости имеют общую прямую, т. е. пересекаются; 2) плоскости не имеют ни одной общей точки, такие плоскости называют параллельными. Существование параллельных плоскостей вытекает из следующего построения. Возьмем в плоскости (рис. 331) какие-либо две пересекающиеся прямые а и b. Через точку М, не принадлежащую плоскости X, проведем прямые а и b, соответственно параллельные данным. Покажем, что плоскость содержащая эти прямые, параллельна плоскости . Действительно, если бы эти плоскости пересекались по некоторой прямой с, то эта прямая, принадлежа плоскости , пересекалась бы по крайней мере с одной из прямых а и такая точка пересечения была бы точкой пересечения одной из этих прямых с плоскостью . Между тем обе прямые по построению параллельны плоскости . Таким образом, предположение о пересечении плоскостей ведет к противоречию. Следовательно, плоскости параллельны. Отсюда следует Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей. 1. Параллельные плоскости.
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.61). Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В. Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d. Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой. Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3. Рисунок 61. Параллельные плоскости 2. Пересекающиеся плоскости,
частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей. Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.62). Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая a. Требуется построить линию пересечения плоскостей. Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью a - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок определяет линию пересечения плоскостей. Так как a - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости aП1, таким образом остается только построить недостающие проекции на П2 и П3. Рисунок 62. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.63) Рисунок 63. Пересечение плоскостей общего положения Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ). Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Взаимно перпендикулярные плоскости.
Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.64). Рисунок 64. Взаимно перпендикулярные плоскости В планиметрии плоскость является одной из основных фигур, поэтому, очень важно иметь ясное представление о ней. Эта статья создана с целью раскрытия этой темы. Сначала дано понятие плоскости, ее графическое представление и показаны обозначения плоскостей. Далее плоскость рассматривается вместе с точкой, прямой или другой плоскостью, при этом возникают варианты из взаимного расположения в пространстве. Во втором и третьем и четвертом пункте статьи как раз разобраны все варианты взаимного расположения двух плоскостей, прямой и плоскости, а также точки и плоскости, приведены основные аксиомы и графические иллюстрации. В заключении даны основные способы задания плоскости в пространстве. Навигация по странице.
Простейшими и основными геометрическими фигурами в трехмерном пространстве являются точка, прямая и плоскость. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости . Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве. Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность. Точки и прямые в пространстве обозначаются также как и на плоскости – большими и маленькими латинскими буквами соответственно. Например, точки А
и Q
, прямые а
и d
. Если заданы две точки, лежащие на прямой, то прямую можно обозначить двумя буквами, соответствующими этим точкам. К примеру, прямая АВ
или ВА
проходит через точки А
и В
. Плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами, например, плоскости , или . При решении задач возникает необходимость изображать плоскости на чертеже. Плоскость обычно изображают в виде параллелограмма или произвольной простой замкнутой области. Плоскость обычно рассматривается вместе с точками, прямыми или другими плоскостями, при этом возникают различные варианты их взаимного расположения. Переходим к их описанию. Начнем с аксиомы: в каждой плоскости имеются точки. Из нее следует первый вариант взаимного расположения плоскости и точки – точка может принадлежать плоскости. Другими словами, плоскость может проходить через точку. Для обозначения принадлежности какой-либо точки какой-либо плоскости используют символ «». Например, если плоскость проходит через точку А
, то можно кратко записать . Следует понимать, что на заданной плоскости в пространстве имеется бесконечно много точек. Следующая аксиома показывает, сколько точек в пространстве необходимо отметить, чтобы они определяли конкретную плоскость: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна. Если известны три точки, лежащие в плоскости, то плоскость можно обозначить тремя буквами, соответствующими этим точкам. Например, если плоскость проходит через точки А
, В
и С
, то ее можно обозначить АВС
. Сформулируем еще одну аксиому, которая дает второй вариант взаимного расположения плоскости и точки: имеются по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Итак, точка пространства может не принадлежать плоскости. Действительно, в силу предыдущей аксиомы через три точки пространства проходит плоскость, а четвертая точка может как лежать на этой плоскости, так и не лежать. При краткой записи используют символ «», который равносилен фразе «не принадлежит». К примеру, если точка А
не лежит в плоскости , то используют краткую запись . Во-первых, прямая может лежать в плоскости. В этом случае, в плоскости лежат хотя бы две точки этой прямой. Это устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Для краткой записи принадлежности некоторой прямой данной плоскости пользуются символом «». Например, запись означает, что прямая а
лежит в плоскости . Во-вторых, прямая может пересекать плоскость. При этом прямая и плоскость имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. При краткой записи пересечение обозначаю символом «». К примеру, запись означает, что прямая а
пересекает плоскость в точке М
. При пересечении плоскости некоторой прямой возникает понятие угла между прямой и плоскостью . Отдельно стоит остановиться на прямой, которая пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Такую прямую называют перпендикулярной к плоскости. Для краткой записи перпендикулярности используют симовл «». Для более глубокого изучения материала можете обратиться к статье перпендикулярность прямой и плоскости . Особую значимость при решении задач, связанных с плоскостью, имеет так называемый нормальный вектор плоскости . Нормальным вектором плоскости является любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной этой плоскости. В-третьих, прямая может быть параллельна плоскости, то есть, не иметь в ней общих точек. При краткой записи параллельности используют символ «». Например, если прямая а
параллельна плоскости , то можно записать . Рекомендуем подробнее изучить этот случай, обратившись к статье параллельность прямой и плоскости . Следует сказать, что прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две полуплоскости. Прямая в этом случае называется границей полуплоскостей. Любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой, а две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от граничной прямой. Две плоскости в пространстве могут совпадать. В этом случае они имеют, по крайней мере, три общие точки. Две плоскости в пространстве могут пересекаться. Пересечением двух плоскостей является прямая линия, что устанавливается аксиомой: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае возникает понятие угла между пересекающимися плоскостями . Отдельный интерес представляет случай, когда угол между плоскостями равен девяноста градусам. Такие плоскости называют перпендикулярными. О них мы поговорили в статье перпендикулярность плоскостей . Наконец, две плоскости в пространстве могут быть параллельными, то есть, не иметь общих точек. Рекомендуем ознакомиться со статьей параллельность плоскостей , чтобы получить полное представление об этом варианте взаимного расположения плоскостей. Сейчас мы перечислим основные способы задания конкретной плоскости в пространстве. Во-первых, плоскость можно задать, зафиксировав три не лежащие на одной прямой точки пространства. Этот способ основан на аксиоме: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Если в трехмерном пространстве зафиксирована и задана плоскость с помощью указания координат трех ее различных точек, не лежащих на одной прямой, то мы можем написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки . Два следующих способа задания плоскости являются следствием из предыдущего. Они основаны на следствиях из аксиомы о плоскости, проходящей через три точки: Четвертый способ задания плоскости в пространстве основан на определении параллельных прямых . Напомним, что две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Таким образом, указав две параллельные прямые в пространстве, мы определим единственную плоскость, в которой эти прямые лежат. Если в трехмерном пространстве относительно прямоугольной системы координат задана плоскость указанным способом, то мы можем составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые . В курсе средней школы на уроках геометрии доказывается следующая теорема: через фиксированную точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Таким образом, мы можем задать плоскость, если укажем точку, через которую она проходит, и прямую, перпендикулярную к ней. Если в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат и задана плоскость указанным способом, то можно составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой . Вместо прямой, перпендикулярной к плоскости, можно указать один из нормальных векторов этой плоскости. В этом случае есть возможность написать Пусть даны две плоскости Первая плоскость имеет нормальный вектор (А 1 ;В 1 ;С 1), вторая плоскость (А 2 ;В 2 ;С 2). Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т.е. = l для некоторого числа l. Поэтому Условие совпадения плоскостей: так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение. Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т.е. = 0, или А 1 А 2 + В 1 В 2 + С 1 С 2 = 0. Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
Угол между двумя плоскостями А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0, А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0 это угол между их нормальными векторами и , поэтому cosj = Прямая в пространстве.
Векторно-параметрическое уравнение прямой.
Определение. Направляющим вектором прямой
называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей. Отложим из точки М 0 вектор Параметрические уравнения прямой.
В векторно-параметрическом уравнении прямой х = х 0 + а 1 t, у = у 0 +а 2 t, (4) Канонические уравнения прямой.
Из уравнений (4) выразим t: t = , t = откуда получаем канонические уравнения прямой
= Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Пусть даны две точки М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1) и М 2 (х 2 ;у 2 ;z 2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = Угол между двумя прямыми.
Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = (а 1 ;а 2 ;а 3) и Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому cosj = Условие перпендикулярности прямых: а 1 в 1 + а 2 в 2 + а 3 в 3 = 0. Условие параллельности прямых: Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть даны две прямые Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и Если в (9) первые две строки пропорциональны, то прямые параллельны. Если все три строки пропорциональны, то прямые совпадают. Если условие (9) выполнено и первые две строки не пропорциональны, то прямые пересекаются. Если же Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Прямая как пересечение двух плоскостей.
Пусть заданы две плоскости А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0, А 2 х + В 2 у +С 2 z + D 2 = 0 Если плоскости не являются параллельными, то нарушается условие Пусть, например ¹ . Найдём уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости. В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять вектор = × = Чтобы найти точку, принадлежащую искомой прямой, фиксируем некоторое значение z = z 0 и решая систему получаем значения х = х 0 , у = у 0 . Итак, искомая точка М(х 0 ;у 0 ;z 0). Искомое уравнение Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть задана прямая х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t и плоскость А 1 х + В 1 у +С 1 z + D 1 = 0. Чтобы найти общие точки прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0, (A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0. Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 ¹ 0, то система имеет единственное решение t = t 0 = - В этом случае прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), где х 1 = х 0 + а 1 t 0 , y 1 = y 0 + a 2 t 0 , z 1 = z 0 + a 3 t 0 . Если А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то прямая и плоскость не имеет общих точек, т.е. параллельны. Если же А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то прямая принадлежит плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
, где .
и 
.
=> 
= =>
=>
y 2 = 2px.
, как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = , b1 = . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение.
Взаимное расположение плоскости и точки.
Прямая и плоскость в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей.
Способы задания плоскости.
─ условие параллельности плоскости.
,
= 
.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (х 0 ;у 0 ;z 0) и имеющей направляющий вектор = (а 1 ;а 2 ;а 3).
. Пусть М(х;у;z) ─ произвольная точка данной прямой, а 
─ её радиус- вектор точки М 0 . Тогда 
, 
, поэтому 
. Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
перейдёт к координатным соотношениям (х;у;z) = (х 0 ;у 0 ;z 0) + (а 1 ;а 2 ;а 3)t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой
, t = 
, = (5)
(х 2 – х 1 ;у 2 – у 1 ;z 2 – z 1). Поскольку прямая проходит через точка М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то её канонические уравнения в соответствии с (5) запишутся в виде
(6)
.
= 
(7)
l,
. (8)
и 
.
компланарны, т.е.
= 0 (9) ¹ 0, то прямые являются скрещивающимися. .
= 
.
,
.
.
