Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.
Основные понятия
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.
Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.
Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.
Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:
2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.
Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.
Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.
Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.
Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.
Формула периметра фигуры
Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:
$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.
Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.
Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.
Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .
Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.
Решение:
Используем формулу $P = (a+b)*2$
$P = (4+6)*2=20 см$
Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.
Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.
Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.
Что мы узнали?
Мы узнали, как найти периметр прямоугольника. А также ознакомились с формулой его вычисления. С этой темой можно столкнуться не только при решении математических задач, но и в реальной жизни.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.5 . Всего получено оценок: 373.
Периметр - один из математических, а точнее - геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.
Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.
Определение периметра
Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.
Измеряем периметр
Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.
Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.
Круг, квадрат, равносторонний треугольник
Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).
Геометрия, если не ошибаюсь, в мое время изучалась с пятого класса и периметр был и есть одним из ключевых понятий. Итак, периметр - это сумма длин всех сторон (обозначается латинской литерой P) . Вообще, трактуют данный термин по разному, например,
- общая длина границы фигуры,
- длина всех ее сторон,
- сумма длин ее граней,
- длина ограничивающей фигуру линии,
- сумма всех длин сторон многоугольника
Для различных фигур существуют свои формулы определения периметра. Чтобы понять сам смысл, предлагаю самостоятельно вывести несколько несложных формул:
- для квадрата,
- для прямоугольника,
- для параллелограмма,
- для куба,
- для параллелепипеда
Периметр квадрата
Для примера возьмем самое простое - периметр квадрата.
Все стороны квадрата равны. Пусть одна сторона носит название "a" (также, как и остальные три), тогда
P = a + a + a + a
или более компактная запись
Периметр прямоугольника
Усложним задачу и возьмем прямоугольник. В данном случае уже нельзя сказать, что все стороны равны, поэтому пусть длины сторон прямоугольника будут равны a и b.
Тогда формула будет иметь следующий вид:
P = a + b + a + b
Периметр параллелограмма
Аналогичная ситуация будет и с параллелограммом (см. периметр прямоугольника)
Периметр куба
Что же делать, если мы имеем дело с объемной фигурой? Например, возьмем куб. Куб имеет 12 сторон и все они равны. Соответственно, периметр куба можно вычислить следующим образом:
Периметр параллелепипеда
Ну, и для закрепления материала вычислим периметр параллелепипеда. Тут необходимо немного поразмышлять. Давайте делать это вместе. Как мы знаем, прямоугольный параллелепипед представляет собой фигуру, сторонами которой являются прямоугольники. У каждого параллелепипеда есть два основания. Возьмем одно из оснований и посмотрим на его стороны - они имеют длину a и b. Соответственно, периметр основания есть P = 2a + 2b. Тогда периметр двух оснований есть
(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b
Но ведь у нас есть еще и сторона "c". Значит формула для вычисления периметра параллелепипеда будет иметь следующий вид:
P = 4a + 4b + 4c
Как видно из примеров выше, всё, что необходимо сделать для определения периметра фигуры - найти длину каждой из сторон, а затем их сложить.
В заключение хочется отметить, что не всякая фигура имеет периметр. К примеру, у шара периметра нет.
Прямоугольник обладает многими отличительными особенностями, исходя из которых, выработаны правила вычисления его различных числовых характеристик. Итак, прямоугольник:
Плоская геометрическая фигура;
Четырехугольник;
Фигура, у которой противоположные стороны равны и параллельны, все углы прямые.
Периметр – это общая длина всех сторон фигуры.
Вычисление периметра прямоугольника — довольно простая задача.
Все, что вам нужно знать, это ширину и длину прямоугольника. Поскольку прямоугольник имеет две равные длины и две равные ширины, измеряется только одна сторона.
Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме 2-х его сторон длины и ширины.
P = (a + b) 2, где a - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника.
Так же периметр прямоугольника можно найти при помощи суммы всех сторон.
P= a+a+b+b, где а– длина прямоугольника, b – ширина прямоугольника.
Периметр квадрата - это длина стороны квадрата, умноженная на 4.
P = a 4, где a - длина стороны квадрата.
Дополнение: Нахождение найти площади и периметра прямоугольников
В программе обучения за 3 класс предусмотрено изучение многоугольников и их особенностей. Для того чтобы понять, как найти периметр прямоугольника и площадь, разберемся, что подразумевается под этими понятиями.
Основные понятия
Нахождение периметра и площади требует знания некоторых терминов. К ним относятся:
- Прямой угол. Образуется из 2 лучей, имеющих общее начало в виде точки. При знакомстве с фигурами (3 класс) прямой угол определяют с помощью угольника.
- Прямоугольник. Это четырехугольник, все углы которого являются прямыми. Его стороны называют длиной и шириной. Как известно, противоположные стороны этой фигуры равны.
- Квадрат. Является четырехугольником, все стороны которого равны.
При знакомстве с многоугольниками их вершины могут называться АВСД. В математике принято именовать точки на чертежах буквами латинского алфавита. В названии многоугольника перечисляют все вершины без пропусков, например, треугольник ABC.
Вычисление периметра
Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Эта величина обозначается латинской буквой P. Уровень знаний для предложенных примеров — 3 класс.
Задача №1: «Начертите прямоугольник 3 см шириной и 4 см длиной с вершинами ABCD. Найдите периметр прямоугольника ABCD».
Формула будет выглядеть так: P=AB+BC+CD+AD либо P=AB×2+BC×2.
Ответ: P=3+4+3+4=14 (см) либо P=3×2 + 4×2=14 (см).
Задача №2: «Как найти периметр прямоугольного треугольника ABC, если значения сторон равны 5, 4 и 3 см?».
Ответ: P=5+4+3=12 (см).
Задача №3: «Найдите периметр прямоугольника, одна сторона которого равна 7 см, а другая на 2 см длиннее».
Ответ: P=7+9+7+9=32 (см).
Задача №4: «Соревнования по плаванию проходили в бассейне, периметр которого составляет 120 м. Сколько метров проплыл участник соревнований, если ширина бассейна 10 м?».
В данной задаче стоит вопрос, как найти длину бассейна. Для решения найдите длины сторон прямоугольника. Ширина известна. Сумма длин двух неизвестных сторон должна составить 100 м. 120-10×2=100. Чтобы узнать расстояние, которое преодолел пловец, нужно разделить полученный результат на 2. 100:2=50.
Ответ: 50 (м).
Вычисление площади
Более сложной величиной является площадь фигуры. Для ее измерения используют мерки. Эталоном среди мерок являются квадраты.
Площадь квадрата со стороной 1 см равна 1 см². Квадратный дециметр обозначен как дм², а квадратный метр — м².
Области применения единиц измерения могут быть такими:
- В см² измеряют маленькие предметы, например фотографии, обложки учебников, листы бумаги.
- В дм² можно измерить географическую карту, оконное стекло, картину.
- Для измерения пола, квартиры, земельного участка используют м².
Если начертить прямоугольник 3 см длиной и 1 см шириной и разбить на квадраты со стороной 1 см, то в нем поместится 3 квадрата, а значит, его площадь составит 3 см². Если прямоугольник разбит на квадраты, найдем периметр прямоугольника также без затруднений. В данном случае он равен 8 см.
Другой способ посчитать количество квадратов, вмещающихся в фигуру, — это использование палетки. Начертим на кальке квадрат площадью 1 дм², что составляет 100 см². Поместим кальку на фигуру и посчитаем число квадратных сантиметров в одном ряду. После этого выясним количество рядов, а затем перемножим значения. Значит, площадь прямоугольника — это произведение его длины и ширины.
Способы сравнения площадей:
- На глаз. Иногда достаточно просто взглянуть на предметы, поскольку в некоторых случаях и невооруженным глазом видно, что одна фигура занимает больше места, как, например, учебник, лежащий на столе рядом с пеналом.
- Наложение. Если фигуры совпадают при наложении, их площади равны. Если же одна из них полностью помещается внутри второй, то ее площадь меньше. Места, занимаемые тетрадным листом и страницей из учебника, можно сравнить, наложив их друг на друга.
- По количеству мерок. Фигуры при наложении могут и не совпадать, однако иметь одинаковую площадь. Сравнить в этом случае можно, подсчитав количество квадратов, на которые разбита фигура.
- Числа. Сравниваются численные значения, измеренные одной и той же меркой, например, в м².
Пример №1: «Швея сшила детское одеяло из квадратных разноцветных лоскутков. Один лоскуток длиной 1 дм, в ряду по 5 штук. Сколько дециметров ленты понадобится швее для обработки краев одеяла, если известна площадь 50 дм²?».
Чтобы решить задачу, нужно ответить на вопрос, как найти длину прямоугольника. Далее найдем периметр прямоугольника, составленного из квадратов. Из задачи ясно, что ширина одеяла — 5 дм, вычисляем длину, разделив 50 на 5, и получаем 10 дм. Теперь найдите периметр прямоугольника со сторонами 5 и 10. P=5+5+10+10=30.
Ответ: 30 (м).
Пример №2: «На раскопках обнаружен участок, где могут находиться древние сокровища. Сколько территории придется исследовать ученым, если известен периметр 18 м и ширина прямоугольника 3 м?».
Определим длину участка, проделав 2 действия. 18-3×2=12. 12:2=6. Искомая территория будет также равна 18 м² (6×3=18).
Ответ: 18 (м²).
Таким образом, зная формулы, вычислить площадь и периметр не составит труда, а приведенные выше примеры помогут попрактиковаться в решении математических задач.
Часто на просторах интернета можно найти насмешки по поводу того, как знания по математике - интегралы, дифференциалы, тригонометрические функции и прочие разделы предмета - не помогают облегчить жизнь человека. Такие шутки напрасны, ведь как выручает умение правильно рассчитывать периметр квадрата, прямоугольника и других геометрических фигур в строительных работах. Расход материала: плитки, обоев, напольного покрытия - не определить без понимания элементарных математических формул и геометрических фигур.
Свойства квадрата
Любые вычисления в математике базируются на свойствах объекта. Чтобы ответить на вопрос: «Чему равен периметр квадрата?» - рекомендуется вспомнить отличительные характеристики этой фигуры.
- Равенство всех сторон.
- Наличие четырех углов величиной 90 градусов.
- Параллельность сторон.
- Поворотная симметрия. При вращении фигуры ее вид остается неизменным.
- Возможность описать и вписать окружность.
- Диагонали при пересечении делят друг друга пополам.
- Площадь фигуры характеризует заполненное квадратом место в двухмерном пространстве.
- Периметр фигуры не что иное, как сумма длин его сторон.
- Из предыдущего свойства вытекает, что единицами измерения величины периметра будут единицы длины: м, см, дм и другие.
Для подсчета плинтусов для завершения ремонта в квадратном помещении, необходимо знать длину комнаты. Для этого необходимо посчитать ее периметр.
Периметр
В переводе с греческого языка слово означает «измерять вокруг». Термин применим ко всем замкнутым фигурам: квадрату, окружности, прямоугольнику, треугольнику, трапеции и прочим. Знания по определению периметра элементарных фигур необходимы для решения сложных геометрических задач с объектами неправильной формы. Например, для расчета плинтусов в комнату планировкой типа «Г», или как еще называют, «сапожком», потребуется определить периметр квадрата и прямоугольника. Ведь форма помещения состоит из этих элементарных фигур.
Общепринятое обозначение такой величины - буква Р. Каждой фигуре с учетом ее свойств присуща своя формула для определения периметра.
Свойства прямоугольника
- Равенство противоположных сторон.
- Равенство диагоналей.
- Возможность описать окружность.
- Высоты прямоугольника равны его сторонам.
- Сумма углов равна 360 градусов, и все углы прямые.
- Параллельность противоположных сторон.
- Перпендикулярность прилегающих сторон.
- Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов его сторон.
- Пересекаясь, диагонали делят друг друга пополам.
- Невозможность вписать в фигуру окружность.
Периметр квадрата
В зависимости от установленных (известных) параметров квадрата, существуют разные формулы для определения его периметра. Простой задачей является расчет периметра при установленной длине его стороны (с). В этом случае Р=с+с+с+с или 4*с. Например, длина стороны квадрата 7 см, тогда периметр фигуры буде 28 см (4*7).
В первом случае все понятно, но как найти периметр квадрата, зная его площадь? И тут все предельно ясно. Поскольку площадь фигуры определяется умножением одной стороны на другую, а у квадрата все стороны равны, необходимо извлечь корень из известной величины. Пример: есть квадрат с площадью 25 дм 2 . Корень из 25 равен 5 - эта величина характеризует длину стороны квадрата. Теперь, подставляя найденную величину - 5 дм 2 - в первоначальную формулу периметра, можно решить задачу. Ответом будет значение в 20 дм. То есть 4 умножили на 5, получили искомую величину.
Квадрат и окружность
Из свойств рассматриваемой фигуры выплывает, что в квадрат можно вписать окружность и также ее описать вокруг фигуры.
Первый вариант - нахождение периметра по радиусу описанной окружности. Вписанным считается квадрат, вершины которого находятся на окружности. Радиус окружности равен 1/2 длине диагонали. Выходит, что диаметр равен диагонали. Теперь необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, который получился в результате деления диагональю квадрата. Решение задачи сводится к нахождению сторон этого треугольника. ВС - это известная величина, диаметр описанной окружности. Допустим, он равен 3 см. Теорема Пифагора в случае с равными сторонами треугольника, будет выглядеть так: 2с 2 =3 2 . В формуле обозначение с - это длина стороны треугольника и квадрата; 3 - известная величина гипотенузы. Отсюда, с=√9/2. Зная сторону квадрата, его периметр посчитать не проблема.
Особенностью вписанной окружности является деление сторон квадрата пополам. Поэтому радиус равняется половине длины стороны квадрата. Тогда сторона с=2*радиус. Периметр квадрата в этом случае равен 4*2*радиус или 8 радиусам окружности.
Периметр прямоугольника
Самая элементарная формула определения периметра прямоугольника через известные величины его сторон выглядит так: Р=2(а+b), где а и b - длины сторон фигуры.
Диагональ прямоугольника аналогично квадрату делит фигуру пополам, образуя прямоугольный треугольник. Однако задача усложняется тем, что стороны этого треугольника неравные. В случае с известной величиной одной из сторон и диагонали, вторую можно найти, следуя теореме Пифагора: д 2 =а 2 +в 2 , где а и в - стороны фигуры, а д - диагональ.
Если неизвестна ни одна из сторон, тогда в дело вступают знания тригонометрии: синусы, косинусы и другие функции.
Нахождение периметра по описанной окружности и известному диаметру сводится к тому, что диаметр равен длине диагонали фигуры. Дальше решение задачи определяется по наличию известных величин. Если даны углы, тогда через тригонометрические функции. Если дана сторона, ответ будет найден через теорему Пифагора.
Прямоугольник и тригонометрические функции
Для наглядности приведен пример решения задачи. Дано: прямоугольник АВСД; длина диагонали (d ) 20 см; угол ф - 30°. Найти периметр фигуры.
Из тригонометрии необходимо вспомнить следующее: синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Синус 30° (существуют таблицы, по которым можно определить значения тригонометрических функций для правильных углов) равен 1/2. Получается 1/2 = отношению в к d . Неизвестная величина в будет равна d /2=20/2=10 см.
Для расчета периметра следует найти вторую сторону фигуры. Можно через теорему Пифагора, так как известны длины гипотенузы и одного из катетов или опять через отношение сторон для косинуса угла.
Косинус угла ф выражается как отношение прилежащего катета к гипотенузе и равен √3/2.
√3/2=n/d , n=(d *√3)/2 или 10*√3. После извлечения корня из 3, получаем длину стороны треугольника: 10*1,73=17,3 см.
Периметр равен 2(17,3+10)=2*27,3=54,6 см.
Периметр и отношение сторон
В школьной программе встречаются задачи по геометрии, когда длины сторон прямоугольника выражены их отношением друг к другу. Рассмотрение решения подобной задачи представлено ниже.
Известно, что сумма длин всех сторон прямоугольника, то есть его периметр, равен 84 см. Отношение длины (д) к ширине (ш) - 3:2. Найти стороны фигуры.
Решение: пусть длина будет 3х, а ширина 2х, согласно соотношению из условия задачи. Формула периметра прямоугольника с полученными данными длин сторон будет следующей: 3х+3х+2х+2х = 84. Далее, 10х = 84, х=8,4 см. Подставив х в выражение длины и ширины прямоугольника, можно найти искомые величины. Длина будет: 3*8,4 = 25,2 см; ширина: 2*8,4 = 16,8 см.
Статья посвящена решению наиболее часто встречаемых задач в школьной программе. И это далеко не все способы нахождения периметра квадрата и прямоугольника.
