Вдогонку ко вчерашнему:
Играем с мозаикой под сказку по геометрии:
Жили-были треугольники. Такие похожие, что просто копия друг друга.
Стали они как-то рядышком на прямую линию. А так как были они все одного роста -
то и верхушки их были на одном уровне, под линеечку:
Треугольники любили кувыркаться и стоять на голове. Взобрались в верхний ряд и стали на уголок, как акробаты.
А мы уже знаем - когда они стоят верхушками ровно в линию,
то и подошвы у них тоже по линеечке - потому что если кто одного роста, то он и верх ногами одного роста!
Во всем они были одинаковые - и высота одинаковая, и подошвы один в один,
и горки по сторонам - одна круче, другая более пологая - по длине одинаковые
и наклон у них одинаковый. Ну просто близнецы! (только в разных одежках, у каждого свой кусочек пазла)
.
- Где у треугольников одинаковые стороны? А где уголки одинаковые?
Постояли треугольники на голове, постояли, да и решили соскользнуть и улечься в нижнем ряду.
Заскользили и съехали как с горки; а горки-то у них одинаковые!
Вот и поместились аккурат между нижними треугольниками, без зазоров и никто никого не потеснил.
Огляделись треугольники и заметили интересную особенность.
Везде, где их углы вместе сошлись - непременно встретились все три угла:
самый большой - "угол-голова", самый острый угол и третий, средний по величине угол.
Они даже ленточки цветные повязали, что б сразу было заметно, где какой.
И получилось, что три угла треугольника, если их совместить -
составляют один большой угол, "угол нараспашку" - как обложка раскрытой книги,
______________________о ___________________
он так и называется: развернутый угол.
У любого треугольника - будто паспорт: три угла вместе равны развернутому углу.
Постучится к вам кто-нибудь: - тук-тук, я треугольник, пустите меня переночевать!
А вы ему - Предъяви-ка сумму углов в развернутом виде!
И сразу понятно - настоящий ли это треугольник или самозванец.
Не прошел проверку - Разворачивайся на сто восемьдесят градусов и ступай восвояси!
Когда говорят "повернуть на 180° - это значит развернуться задом наперед и
идти в обратном направлении.
То же самое в более привычных выражениях, без "жили были":
Совершим параллельный перенос треугольника АВС вдоль оси ОХ
на вектор АВ
равный длине основания АВ.
Прямая, DF проходящая через вершины С и С 1 треугольников
параллельна оси ОХ, в силу того, что перпендикулярные оси ОХ
отрезки h и h 1 (высоты равных треугольников) равны.
Таким образом основание треугольника А 2 В 2 С 2 параллельно основанию АВ
и равно ему по длине (т.к. вершина С 1 смещена относительно С на величину АВ).
Треугольники А 2 В 2 С 2 и АВС равны по трем сторонам.
А стало быть углы ∠А 1 ∠В ∠С 2 , образующие развернутый угол, равны углам треугольника АВС.
=> Сумма углов треугольника равна 180°
С движениями - "трансляциями" так называемыми доказательство короче и наглядней,
на кусочках мозаики даже малышу может быть понятно.
Зато традиционное школьное:
опирающееся на равенство внутренних накрест-лежащих углов, отсекаемых на параллельных прямых
ценно тем, что дает представление о том - почему это так,
почему
сумма углов треугольника равна развернутому углу?
Потому что иначе параллельные прямые не обладали бы привычными нашему миру свойствами.
Теоремы работают в обе стороны. Из аксиомы о параллельных прямых следует
равенство накрест лежащих и вертикальных углов, а из них - сумма углов треугольника.
Но верно и обратное: пока углы треугольника составляют 180° - существуют параллельные прямые
(такие, что через точку не лежащую на прямой можно провести единственную прямую || данной).
Если однажды в мире появится треугольник, у которого сумма углов не равна развернутому углу -
то параллельные перестанут быть параллельны, весь мир искривится и перекособочится.
Если полосы с орнаментом из треугольников расположить друг над другом -
можно покрыть все поле повторяющимся узором, будто пол плиткой:
можно обводить на такой сетке разные фигуры - шестиугольники, ромбы,
звездные многоугольники и получать самые разные паркеты
Замощение плоскости паркетами - не только занятная игра, но и актуальная математическая задача:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Поскольку каждый четырехугольник - прямоугольник, квадрат, ромб и проч.,
может быть составлен из двух треугольников,
соответственно сумма углов четырехугольника: 180° + 180°= 360°
Одинаковые равнобедренные треугольники складываются в квадраты разными способами.
Маленький квадратик из 2-х частей. Средний из 4-х. И самый большой из 8-ми.
Сколько на чертеже фигур, состоящих из 6-ти треугольников?
Цели и задачи:
Образовательные:
- повторить и обобщить знания о треугольнике;
- доказать теорему о сумме углов треугольника;
- практически убедиться в правильности формулировки теоремы;
- научиться применять полученные знания при решении задач.
Развивающие:
- развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, умение самостоятельно добывать знания.
Воспитательные:
- развивать личностные качества учащихся, таких как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.
Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.
Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».
Тип урока : изучение нового материала.
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.
II. Разминка
С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?
Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.
Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:
Рисунок 1
III. Формулируем задачу урока
Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?
Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.
IV. Объяснение нового материала
Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).
Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:
а)
Рисунок 2
б) 
Рисунок 3
в) 
Рисунок 4
г) 
Рисунок 5
д) 
Рисунок 6
После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.
Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?
Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):
Рисунок 7
Рисунок 8
Чертежи высвечиваются на экране через проектор.
Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.
Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.
Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»
Рисунок 9
Доказательство:
а) 
Рисунок 10
б) 
Рисунок 11
в) 
Рисунок 12
Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.
Рисунок 13
Дано: Δ АВС
Доказать: А + В + С = 180°.
Доказательство:
Что требовалось доказать.
V. Физ. минутка.
VI. Объяснение нового материала (продолжение)
Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:
В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .
Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .
Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .
Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .
Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)
Таблица 1
| Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
| Прямоугольный | 
|
|
|
| Тупоугольный | 
|
|
|
| Остроугольный | 
|
|
|
VII. Закрепление изученного материала.
- Решить задачи устно:
(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)
Задача 1. Найдите угол С.
Рисунок 14
Задача 2. Найдите угол F.
Рисунок 15
Задача 3. Найдите углы К и N.
Рисунок 16
Задача 4. Найдите углы P и T.
Рисунок 17
- Решить задачу самостоятельно № 223 (б, г).
- Решить задачу на доске и в тетрадях уч-ся №224.
- Вопросы: Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол.
- (выполняется устно) На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники. Определите на глаз вид каждого треугольника.
Рисунок 18
- Найдите сумму углов 1, 2 и 3.
Рисунок 19
VIII. Итог урока.
Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?
IX. Рефлексия.
Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.
Рисунок 20
Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.
Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.
Виды по величине углов
Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:
- остроугольный, у которого все углы острые;
- прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
- тупоугольный, когда один ;
- равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
- равносторонний, имеющий все три равные стороны.
Свойства
Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:
- напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
- напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
- у любого треугольника есть два острых угла;
- внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
- сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
- внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.
Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.
Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.
Следствие
Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.
Свойство внешних углов
Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.
Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,
∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.
Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).
С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.
Прямоугольный треугольник
Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.
Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.
Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.
В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:
- углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
- гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
- сумма катетов больше гипотенузы;
- катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.
Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
Сумма углов равнобедренного треугольника
Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.
Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.
От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.
Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.
Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:
- в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
- медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.
Равносторонний треугольник
Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.
Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.
Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.
Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:
- медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
- если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
- если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
- площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.
Тупоугольный треугольник
Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.
Вы, сможете доказать, что сумма углов в треугольнике, равна 180 градусам? и получил лучший ответ
Ответ от Top_ed[гуру]
Зачем доказывать то, что уже доказано очень-очень давно.
Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что
Сумма углов треугольника равна 180°.
Пусть ABC - произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.
Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.
Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
Ответ от Boriska(c)
[гуру]
смогу, только не помню как))
Ответ от Мурашкина
[гуру]
Могу. А Вам срочно? ? Вы экзамен за пятый класс сдаёте? ? :))
Ответ от Ўрий Семыкин
[гуру]
1. Это зависит от геометрии пространства. На Римановой плоскости > 180, на пл. Лобачевского < 180. На Эвклидовой - равенство.
2. Провести прямую через вершину параллельно одной из сторон и рассмотреть накрест лежащие углы, образоавнные двумя сторонами и доп прямой. Получится развернутый угол (180) равен сумме трех углов треугольника.
Доказательство существенно опирается на то, что можно провести только одну параллельную прямую. Есть куча геометрий, где это не так.
Ответ от Yuri
[гуру]
Зачем доказывать доказанное?)) Разрежте квадрат на две чатсти, если вам хочется чего то новенького))
Ответ от Николай Евгеньевич
[гуру]
Не могу.
Ответ от Алекс Бричка
[эксперт]
да тут и доказывать то нечего, просто надо добавить углы друг к другу и все.
Ответ от 2 ответа
[гуру]
Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Вы, сможете доказать, что сумма углов в треугольнике, равна 180 градусам?
Доказательство:
- Дан треугольник АВС.
- Через вершину B проведем прямую DK параллельно основанию AC.
- \angle CBK= \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DK и AC, и секущей BC.
- \angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DK \parallel AC и секущей AB. Угол DBK развернутый и равен
- \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
- Так как развернутый угол равен 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , то получим 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.
Теорема доказана
Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:
- Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .
- В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45° .
- В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° .
- В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий - тупой или прямой.
- Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом
Доказательство:
- Дан треугольник АВС, где ВСD - внешний угол.
- \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
- Из равенств угол \angle BCD + \angle BCA = 180^0
- Получаем \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.
