Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.
Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.
Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.
Статистическое распределение – это совокупность вариант x i и соответствующих им частот n i .
Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал n i или относительной частоте n i /n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса :
I=(x max -x min)/(1+3,32lgn),
Где x max – максимальное; x min – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах ; n – объем выборки.
Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами x i , n i .
5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).
Мода (М о ) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.
Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.
Для определения моды интервальных рядов служит формула:
M 0 =x ниж +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),
где х ниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n 2 ; n 2 – частота модального класса; n 1 – частота класса, предшествующего модальному; n 3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.
Медиана (М е )- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.
Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда
Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:
Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:
S в =√(S в 2 )
6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.
Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.
Статистическое оценивание может выполняться двумя способами:
1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;
2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.
Точечная оценка называется состоятельной , если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.
Точечная оценка называется эффективной , если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
Точечную оценку называют несмещенной , если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:
в = i n i ,
где x i – варианты выборки; n i – частота встречаемости вариант x i ; n – объем выборки.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.
Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
в - m t≤≤ в + m t (р≥0,95),
где – генеральное среднее; в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.
| " |
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, которые аналогичны основным числовым характеристикам случайных величин в теории вероятностей (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана) и являются в некотором смысле (который будет ясен дальше) их приближенным значением.
Пусть дано статистическое распределение выборки объема n для частот и относительных частот:
|
x i |
x 1 |
x 2 |
x k |
|
|
n i |
n 1 |
n 2 |
n k |
|
x i |
x 1 |
x 2 |
x k |
|
|
w i |
w 1 |
w 2 |
w k |
Если внести множитель под знак суммы, то получим формулу для выборочного среднего через относительные частоты:
.
Отметим,
что в случае интервального ряда выборочное
среднее вычисляется по тем же формулам,
если в качестве чисел х
1
,
… , х
k
взять
середины интервалов: 
,
… ,
.
Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их выборочного среднего:
Снова внося множитель под знак суммы, получим формулу для выборочной дисперсии через относительные частоты:
Несложные преобразования приводят к более удобной формуле для вычисления выборочной дисперсии
,
где есть выборочное среднее квадрата изучаемой случайной величины, т.е.
Если
выборка представлена интервальным
статистическим рядом, то формулы для
выборочной дисперсии остаются те ми
же, где, как обычно, в качестве чисел х
1
,
… , х
k
берутся
середины интервалов: 
,
… ,
.
Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии
.
Размахом вариации R называется разность между максимальным и минимальным значением в выборке. Если варианты в выборке ранжированы (размещены в возрастающем порядке), то
.
Коэффициент вариации определяется по формуле
.
Модой М о вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту (или относительную частоту).
Медианой М е вариационного ряда называется число, являющееся его серединой. Для дискретного ряда с нечетным числом вариант медиана равна его серединному варианту. Если же число вариант четно, то Медина равна среднему (т.е. полусумме) двух серединных вариант.
К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариационного ряда) относятся характеристики положения(средние характеристики, или центральная тенденция выборки); характеристики рассеяния(вариации, или колеблемости) и характеристики формыраспределения.
К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значение (среднее значение), мода и медиана.
К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости) относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, ошибка средней арифметической (ошибка средней), коэффициент вариации и др.
К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера скошенности и эксцесс.
51. Оценка параметров генеральной совокупности. Точечная и интервальная оценка. Доверительный интервал. Уровень значимости
Оценка параметров генеральной совокупности
Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.
Точечной одним числом . К таким оценкам относятся, например,
Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны быть:
несмещенными;
эффективными;
состоятельными.
Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.
Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.
Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборочной совокупности она стремиться к величине генерального параметра.
Например, выборочная средняя есть состоятельная, несмещённая оценка генеральной средней. Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала – доверительного интервала .
Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.
Для оценки генерального параметра с помощью доверительного интервала необходимы три величины:
Например,
доверительный интервал для генеральной
средней находится
по формуле:при
уровне значимости
.
Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная.
Уровень значимости - это вероятность того, что мы сочли различия существенными, а они на самом деле случайны.
Когда мы указываем, что различия достоверны на 5%-ом уровне значимости, или при р < 0,05 , то мы имеем виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны, составляет 0,05.
Когда мы указываем, что различия достоверны на 1%-ом уровне значимости, или при р < 0,01 , то мы имеем в виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны, составляет 0,01.
Если перевести все это на более формализованный язык, то уровень значимости - это вероятность отклонения нулевой гипотезы, в то время как она верна.
Ошибка, состоящая в той, что мы отклонили нулевую гипотезу, в то время как она верна, называется ошибкой 1 рода. (См. Табл. 1)
Табл.
1. Нулевая и альтернативные гипотезы и
возможные состояния проверки.
Вероятность такой ошибки обычно обозначается как α. В сущности, мы должны были бы указывать в скобках не р< 0,05 или р< 0,01, а α< 0,05 или α< 0,01.
Если вероятность ошибки - это α , то вероятность правильного решения: 1-α. Чем меньше α, тем больше вероятность правильного решения.
Исторически сложилось так, что в психологии принято считать низшим уровнем статистической значимости 5%-ый уровень (р≤0,05): достаточным – 1%-ый уровень (р≤0,01) и высшим 0,1%-ый уровень (р≤0,001), поэтому в таблицах критических значений обычно приводятся значения критериев, соответствующих уровням статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01, иногда - р≤0,001. Для некоторых критериев в таблицах указан точный уровень значимости их разных эмпирических значений. Например, для φ*=1,56 р=О,06.
До тех пор, однако, пока уровень статистической значимости не достигнет р=0,05, мы еще не имеем права отклонить нулевую гипотезу. Мы будем придерживаться следующего правила отклонения гипотезы об отсутствии различий (Но) и принятия гипотезы о статистической достоверности различий (Н 1).
Главная характеристика рассеивания вариационного ряда называется дисперсией
Главная характеристика рассеивания вариационного ряда называется дисперсией . Выборочная дисперсия D в рассчитывается по следующей формуле:
где x i – i -ая величина из выборки, встречающаяся m i раз; n – объём выборки; – выборочная средняя; k – количество различных значений в выборке. В рассматриваемом примере: x 1 =72, m 1 =50; x 2 =85, m 2 =44; x 3 =69, m 3 =61; n =155; k =3; . Тогда:
Заметим, что чем больше значение дисперсии, тем сильнее отличие значений измеряемой величины друг от друга. Если в выборке все значения измеряемой величины равны между собой, то дисперсия такой выборки равна нулю.
Дисперсия обладает особыми свойствами.
Свойство 1. Значение дисперсии любой выборки неотрицательно, т.е. .
Свойство 2. Если измеряемая величина постоянна X=c, то дисперсия для такой величины равна нулю: D [ c ]= 0.
Свойство 3. Если все значения измеряемой величины x в выборке увеличить в c раз, то дисперсия данной выборки увеличится в c 2 раз: D [ cx ]= c 2 D [ x ], где c = const .
Иногда вместо дисперсии используют выборочное среднее квадратическое отклонение , которое равно арифметическому квадратному корню из выборочной дисперсии: .
Для рассмотренного примера выборочное
среднее квадратическое отклонение равно 
.
Дисперсия позволяет оценить не только степень различия измеряемых показателей внутри одной группы, но может быть использована и для определения отклонения данных между разными группами. Для этого используется несколько видов дисперсии.
Если в качестве выборки берётся какая-либо группа, то дисперсия данной группы называется групповой дисперсией . Чтобы выразить численно различия между дисперсиями нескольких групп, существует понятие межгрупповой дисперсии . Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:
где k – число групп в общей выборке, - выборочная средняя для i -ой группы, n i – объём выборки i -ой группы, - выборочная средняя для всех групп.
Рассмотрим пример.
Средняя оценка за контрольную работу по математике в 10 «А» классе составила 3.64, а в 10 «Б» классе 3.52. В 10 «А» учится 22 человека, а в 10 «Б» - 21. Найдём межгрупповую дисперсию.
В данной задаче выборка разбивается на две группы (два класса). Выборочная средняя для всех групп равна:
.
В таком случае межгрупповая дисперсия равна:
Поскольку межгрупповая дисперсия близка к нулю, то мы можем сделать вывод, что оценки одной группы (10 «А» класса) в малой степени отличаются от оценок второй группы (10 «Б» класса). Иными словами, с точки зрения межгрупповой дисперсии рассмотренные группы в незначительной степени отличаются по заданному признаку.
Если общая выборка (например, класс учеников) разбита на несколько групп, то помимо межгрупповой дисперсии можно рассчитать ещё внутригрупповую дисперсию . Такая дисперсия является средней величиной для всех групповых дисперсий.
Внутригрупповая дисперсия D внгр рассчитывается по формуле:
где k – количество групп в общей выборке, D i – дисперсия i -ой группы объёма n i .
Существует взаимосвязь между общей (D в ), внутригрупповой (D внгр ) и межгрупповой (D межгр ) дисперсиями:
D в = D внгр + D межгр .
Цель работы
Познакомиться с явлением рассеяния и научиться определять его характеристики.
Оснащение
1. Диски с номинальным значением А 1 .
2. Диски с номинальным значением А 2 .
3. Микрометр.
4. Стойка.
1. Общие сведения
При изготовлении партии деталей по одному и тому же технологическому процессу, одним и тем же рабочим, на одном и том же рабочем месте, в одних и тех же условиях наблюдаются отклонения значений параметров точности деталей от идеального прототипа и друг от друга. Это явление получило название рассеяние.
На всех этапах технологического процесса изготовления детали действует большое количество непрерывно или дискретно изменяющихся случайных и систематических факторов.
Систематические факторы бывают:
– постоянно действующие (например, погрешность формы обрабатываемой поверхности, обусловленная непараллельностыо оси шпинделя направляющим токарного станка; погрешность измерения и др);
– изменяющиеся по определенному закону у = f (x ) (например, размерный износ инструмента, тепловые деформации станка и др.).
Случайные факторы характеризуются большим их количеством, отсутствием связи между собой и нестабильностью (например, упругие отжатия звеньев системы СПИД).
На практике явление рассеяния любой характеристики качества изучается с помощью точечной диаграммы, которая позволяет определить все характеристики.
Для построения точечной диаграммы по оси абцисс откладываются порядковые номера измерений деталей, а по оси ординат в виде точек – полученные значения соответствующего номера измерений деталей (рис. 1.1). Через точки, соответствующие максимальному и минимальному значениям измерения, проводятся две линии, параллельные между собой и оси абцисс. Расстояние между этими линиями является первой характеристикой рассеяния значений и носит название поля рассеяния ω = А нб – A нм . Эта характеристика обязательно дополняется координатой середины поля рассеяния – ∆ω , которая представляет собой расстояние между серединой поля рассеяния и номинальным значением. Она определяет положение поля рассеяния относительно номинала.
Второй характеристикой явления рассеяния служит практическая кривая рассеяния и определяющие ее параметры. Для построения практической кривой рассеяния необходимо поле рассеяния ω на точечной диаграмме разделить на 7…11 интервалов линиями, параллельными оси абцисс. В каждом интервале подсчитать количество попавших в него результатов измерений (абсолютная частость т) и изобразить это количество в виде прямоугольников шириной, равной величине интервала, и высотой, равной абсолютной частости т.
Получившаяся диаграмма называется гистограммой рассеяния. Изобразив абсолютную частоту т в виде прямых линий, расположенных посредине каждого интервала (нагруженных ординат), и соединив их верхние точки отрезками прямых линий, получают ломаную линию, называемую практической кривой рассеяния значений измерения (рис. 2.1).
Pиc. 1.1. Точечная диаграмма и практическая
кривая рассеяния значений измерения
Параметрами, характеризующими практическую кривую рассеяния, являются:
1. Уравнение кривой рассеяния у = φ (х ). Для большинства задач оценки точности в технологии машиностроения распределение текущих значений х i подчиняется нормальному закону (закону Гаусса), для которого
Кроме закона Гаусса текущие значения х i могут распределяться по закону равной вероятности, закону Симпсона, закону Шарлье и др.
2. Центр группирования случайной величины – это среднее значение, около которого располагается наибольшее количество значений. Иными словами, центр группирования – это значение случайной величины, принадлежащее большинству деталей в партии. Положение центра группирования определяется координатой центра группирования (математическим ожиданием) M (x ).
3. Среднее квадратичное отклонение σ, показывающее плотность группирования текущих значений относительно центра группирования М (х ). Графически σ изображается в виде двух абцисс, равноотстоящих от значения M (x ) на величину σ, Эта характеристика служит мерой рассеяния.
4. Коэффициент относительной асимметрии а, показывающий смещение центра группирования М (х ) относительно середины поля рассеяния. Для дискретных величин текущего значения х i характеристики M (x ), σ и а определяются по равенствам:
где р (х i ) = т / п – количество значений измерений, попавших в соответству-ющий интервал, выраженное в процентах или долях всего количества измеренных величин (относительная частость).
Вычисленные характеристики рассеяния значений измерения представляются в графическом виде, учитывая, что у m ах ≈ 0,4/σ , у σ ≈ 0.24/σ (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Характеристики явления рассеяния: M (x ); σ ; а
2. Порядок выполнения работы
Лабораторная работа выполняется двумя бригадами. Явление рассеяния в данной работе изучается на примере двух партий деталей по 50 штук номиналами А 1 , А 2 .
Произвести установку (50 раз) заготовки в трёхкулачковый патрон и измерить осевое смещение.
При установке деталь необходимо плотно прижимать торцовой поверхностью к оснастке, а при повторных установках деталь необходимо поворачивать вокруг ее оси на некоторый угол.
Результаты измерений зафиксировать после каждой установки детали.
По результатам измерений построить точечную диаграмму, гистограмму и кривую рассеяния аналогично этапу 2.
Определить параметры, характеризующие кривую рассеяния, аналогично этапу 3.
Сравнить результаты экспериментов и сделать выводы.
Построить схему этих характеристик явления рассеяния (рис.2.2).
1. Название, цель и оснащение работы.
2. Результаты измерений деталей номиналом А 1 .
3. Точечная диаграмма и характеристики явления рассеяния.
4. Результаты измерений деталей номиналом А 2 .
5. Точечная диаграмма и характеристики явления рассеяния.
6. Выводы.
4. Контрольные вопросы
1. Что такое явление рассеяния?
2. С помощью чего изучается явление рассеяния.
3. Назовите характеристики явления рассеяния.
4. Какие факторы действуют в процессе изготовления детали?
5. За что отвечают в точечной диаграмме систематические факторы?
6. За что отвечают в точечной диаграмме случайные факторы?
7. Почему при построении практической кривой рассеяния количество интервалов должно быть нечетным?
8. Что такое поле рассеяния?
9. Что такое координата середины поля рассеяния?
10. Зачем нужна координата середины поля рассеяния?
11. Что такое центр группирования?
12. Что такое математическое ожидание?
13. Что показывает математическое ожидание?
14. Что принято за меру рассеяния?
15. Назовите характеристики хода технологического процесса.
16. Назовите характеристики явления рассеяния при обработке партии деталей.
Характеристики положения описывают центр распределения. В то же время значения вариант могут группироваться вокруг него как в широкой, так и в узкой полосе. Поэтому для описания распределения необходимо охарактеризовать диапазон изменения значений признака. Для описания диапазона варьирования признака используются характеристики рассеяния. Наиболее широкое применение нашли размах вариации, дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации.
Размах вариации определяется как разность между максимальным и минимальным значением признака в изучаемой совокупности:
R =x max -x min .
Очевидным достоинством рассматриваемого показателя является простота расчета. Однако поскольку размах вариации зависит от величин только крайних значений признака, то область его применения ограничена достаточно однородными распределениями. В остальных случаях информативность этого показателя весьма невелика, поскольку существует очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. В практических исследованиях размах вариации используется иногда при малых (не более 10) объемах выборки. Так, например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов.
В рассматриваемом примере:
R =16,36 – 13,04=3,32 (м).
Второй характеристикой рассеяния является дисперсия. Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения значения случайной величины от ее среднего значения. Дисперсия есть характеристика рассеяния, разбросанности значений величины около ее среднего значения. Само слово «дисперсия» означает «рассеяние».
При проведении выборочных исследований необходимо установить оценку для дисперсии. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсией и обозначается S 2 .
На первый взгляд наиболее естественной оценкой для дисперсии является статистическая дисперсия, вычисленная, исходя из определения, по формуле:
В этой формуле - сумма квадратов отклонений значений признака х i от среднего арифметического . Для получения среднего квадрата отклонений эта сумма поделена на объем выборки п .
Однако такая оценка не является несмещенной. Можно показать, что сумма квадратов отклонений значений признака для выборочного среднего арифметического меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой величины, в том числе от истинного среднего (математического ожидания). Поэтому результат, получаемый по приведенной выше формуле, будет содержать систематическую ошибку, и оценочное значение дисперсии окажется заниженным. Для ликвидации смещения достаточно ввести поправочный коэффициент . В результате получается следующее соотношение для оценочной дисперсии:
При больших значениях n , естественно, обе оценки - смещенная и несмещенная – будут различаться очень мало и введение поправочного множителя теряет смысл. Как правило, уточнение формулы для оценки дисперсии следует производить при n <30.
В случае сгруппированных данных последнюю формулу для упрощения вычислений можно привести к следующему виду:
где k - число интервалов группировки;
n i - частота интервала c номером i ;
x i - срединное значение интервала c номером i .
В качестве примера проведем вычисление дисперсии для сгруппированных данных разбираемого нами примера (см. табл. 4.):
S 2 =/ 28=0,5473 (м 2).
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что затрудняет ее интерпретацию и делает не очень наглядной. Для более наглядного описания рассеяния удобнее пользоваться характеристикой, размерность которой совпадает с размерностью исследуемого признака. С этой целью вводится понятие стандартного отклонения (или среднего квадратического отклонения ).
Стандартным отклонением называется положительный корень квадратный из дисперсии:
В разбираемом нами примере стандартное отклонение равно
Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения исследуемого признака и, таким образом, оно характеризует степень отклонения признака от среднего арифметического. Иными словами, оно показывает, как расположена основная часть вариант относительно среднего арифметического.
Стандартное отклонение и дисперсия являются наиболее широко применяемыми показателями вариации. Связано это с тем, что они входят в значительную часть теорем теории вероятностей, служащей фундаментом математической статистики. Помимо этого, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов на вариацию исследуемого признака.
Помимо абсолютных показателей вариации, которыми являются дисперсия и стандартное отклонение, в статистике вводятся относительные. Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Коэффициент вариации равен отношению стандартного отклонения к среднему арифметическому, выраженному в процентах:
Из определения ясно, что по своему смыслу коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеяния признака.
Для рассматриваемого примера:
Коэффициент вариации широко используется при проведении статистических исследований. Будучи величиной относительной, он позволяет сравнивать колеблемости как признаков, имеющих различные единицы измерения, так одного и того же признака в нескольких разных совокупностях с различными значениями среднего арифметического.
Коэффициент вариации используется для характеристики однородности полученных экспериментальных данных. В практике физической культуры и спорта разброс результатов измерений в зависимости от значения коэффициента вариации принято считать небольшим (V<10%), средним (11-20%) и большим (V> 20%).
Ограничения на использование коэффициента вариации связаны с его относительным характером – определение содержит нормировку на среднее арифметическое. В связи с этим при малых абсолютных значениях среднего арифметического коэффициент вариации может потерять свою информативность. Чем ближе значение среднего арифметического к нулю, тем менее информативным становится этот показатель. В предельном случае среднее арифметическое обращается в ноль (например, температура) и коэффициент вариации обращается в бесконечность независимо от разброса признака. По аналогии со случаем погрешности можно сформулировать следующее правило. Если значение среднего арифметического в выборке больше единицы, то использование коэффициента вариации правомерно, в противном случае для описания разброса опытных данных следует использовать дисперсию и стандартное отклонение.
В заключение этой части рассмотрим оценку варьирования значений оценочных характеристик. Как уже было отмечено, значения характеристик распределения, рассчитанные по данным эксперимента, не совпадают с их истинными значениями для генеральной совокупности. Точно установить последние не представляется возможным, поскольку, как правило, невозможно обследовать всю генеральную совокупность. Если использовать для оценки параметров распределения результаты разных выборок из одной и той же генеральной совокупности, то окажется, что эти оценки для разных выборок отличаются друг от друга. Оценочные значения флуктуируют около своих истинных значений.
Отклонения оценок генеральных параметров от истинных значений этих параметров называются статистическими ошибками. Причиной их возникновения является ограниченный объем выборки - не все объекты генеральной совокупности входят в нее. Для оценки величины статистических ошибок используется стандартное отклонение выборочных характеристик.
В качестве примера рассмотрим наиболее важную характеристику положения - среднее арифметическое. Можно показать, что стандартное отклонение среднего арифметического определяется соотношением:
где σ - стандартное отклонение для генеральной совокупности.
Поскольку истинное значение стандартного отклонения не известно, то для оценки стандартного отклонения выборочного среднего используется величина, называемая стандартной ошибкой среднего арифметического и равная:
Величина характеризует ошибку, которая в среднем допускается при замене генерального среднего его выборочной оценкой. Согласно формуле, увеличение объема выборки при проведении исследования приводит к уменьшению стандартной ошибки пропорционально корню квадратному из объема выборки.
Для рассматриваемого примера значение стандартной ошибки среднего арифметического равно . В нашем случае она оказалась в 5,4 раза меньше значения стандартного отклонения.
